代做MAT A22 Homework # 6 – Linear Maps, Kernels and Images Winter 2024代做Statistics统计

MAT A22

Homework # 6 –   Linear Maps, Kernels and Images

Winter 2024

Problems

Q1.  Let T : R2 → R2  be T(x1 , x2 ) = (x1  + x2, 3x2 − x1 ).  Compute the matrix representation [T]α(β) for each of the following bases.

(a)  α = {e1 , e2 },                 β = {e1 , e2 }

(b)  α = {(1, −1), (0, 1)},    β = {e1 , e2 }

(c)  α = {(1, −1), (0, 1)},    β = {(1, −1), (0, 1)}

(d)  α = {e1 , e2 },                β = {(1, −1), (0, 1)}

Q2.  Let v = (2, 3). Show that [T(v)]β  = [T]α(β)[v]α  for each part in Q1.

Q3.  On Homework #1 you proved that (R+ , 田, ⊡) was a vector space. Recall that,

R+  = {x : x > 0}       x 田 y = xy       c ⊡ x = xc.

Prove that the function T : R+  → R given by T(x) = ln(x) is a linear transformation. Q4.  Let T be a linear transformation such that T : V → V.

(a) If V = R2 , can image(T) = ker(T)?  Is so provide an example. If not, justify with a proof. (b) If V = R3 , can image(T) = ker(T)?  Is so provide an example. If not, justify with a proof.

These two example hint at a general condition for finite dimensional vector spaces that must be true in order image(T) = ker(T).  Prove that if this condition holds a linear transformation does exist such that image(T) = ker(T).

In the next question, you will generalize the notion of image and ker.

Q5.  Let V and W be vector spaces with V′ ⊆ V  and W′ ⊆ W  subspaces.  Suppose that T  : V → W is a linear transformation. Prove the following:

(a) T(V′ ) = {T(v′ ) : v′ ∈ V′ } ⊆ W is a subspace of W.

(b) T −1 (W′ ) = {v′ : T(v′ ) ∈ W′ } ⊆ V is a subspace of V.

And now we consider the relationship between T(V′ ), T −1 (W′ ), ker(T), and image(T). (a)  For what subspace W′ ⊆ W does T−1 (W′ ) = ker(T)?

(b)  For what subspace V′ ⊆ V does T(V′ ) = image(T)?

Q6.  Consider the linear transformation: D : Pn(R) → Pn(R) given by D(p(x)) = dx/d [p(x)]. Equivalently

D(p(x))  = p′ (x).   A subspace W of V  is called T-invariant if:  T(W)  ⊂ W.   If T is the derivative operators, determine with proof if each of the subspaces are T-invariant.

(a)  W = {ax3  + bx2 + cx + d ∈ Pn (R)|b + c = 0}

(b)  W = {ax3 + bx2 + cx + d ∈ Pn (R)|a = 0}

An operator is is Nilpotent if there exists a k such that Tk  = 0.

(a)  Prove that if T = D, the linear transformation is Nilpotent.

Q7.  Let T : V → V be a linear transformation were dim(V) is finite.  Prove that the following statements are equivalent.

(a)  The image(T2 ) = image(T)

(b) ker(T) = ker(T2 ).

(c)  image(T) ∩ ker(T) = {0}.

(In the next assignment, we will prove that this is equivalent to a few more statements.)