代做MATH 237 Online Calculus 3 for Honours Mathematics Spring 2024 Mini-midterm 3代做留学生SQL 程序

MATH 237 Online Calculus 3 for Honours Mathematics

Spring 2024

Mini-midterm 3

Due date: 11:30pm, July 19 2024

1.(30 points) Use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values off(x,y) = x on the curve defined by

2.(30 points)

(i)  Convert the following equations in Cartesian coordinates to spherical coordinates:

(ii)  Convert the following equations in Cartesian coordinates to cylindrical coordinates:

3.(30 points) Consider the map defined by

(u,v) = F(x,y) = (y + xy,y - xy).

(i)  (10 points) Show that F has an inverse map by finding F-1  explicitly.

(ii)  (10 points) Find the derivative matrices DF(x,y) and DF-1 (u,v) and verify that DF(x,y)DF-1 (u,v) = I.

(iii)  (10 points) Verify that the Jacobians satisfy

4.(10 points) Miscellaneous problems.

(i)  (5 points) Find the local maximum and minimum of the function f(x,y) = (1+ ey ) cos x -yey  and the corresponding critical points.

(ii)  (5 points) Suppose f(x,y), g(x,y) are two functions with continuous partial derivatives.  Show that if for any (x,y) ∈ R2  we have

then the number of solutions of  in the region {(x,y) ∈ R2  : 0 ≤ x ≤ 100, 0 ≤ y ≤ 50} is finite.

(Hint: Use the Inverse Mapping Theorem. )

(Additional hint:  if the region {(x,y) ∈ R2  : 0 ≤ x ≤ 100, 0 ≤ y ≤ 50} is covered by infinitely many neighbors {Oi  : i ∈ I}, III  = +∞, then there are finitely many neighbors {Oi  : i ∈ J ≤ I}, IJI  < +∞ covering the above region. )