代做AMS 335/ECO 355: GAME THEORY SUMMER 2024 SECOND EXAM代做留学生SQL语言程序

AMS 335/ECO 355:  GAME THEORY

SUMMER 2024

SECOND EXAM

Instructions

• This exam contains 4 pages and 5 questions. Total of points is 100.

• This is an individual exam. Working in groups is not permitted.

• This is an open-book exam. You can use any of the materials posted on Brightspace or available online. However, you must submit your own answers to the exam questions. Note that any answers that are copy-pasted from online sources will not be accepted.

• Any suspicion of cheating will be directly reported to the Academic Judiciary Office for possible dishonesty.

• You must submit the exam by Monday July 1st, 11:59 pm EDT.

• Show all your work to receive full credit. Good luck!

Question 1

Consider the following two-player sequential-move game.   Player  1  moves  first,  choosing between actions A and B. Player 2 moves second, after observing player 1’s action. If player 1 played A, then player 2 chooses between actions C, D, and E. If player 1 played B, then player 2 chooses between actions F and G. Finally, player 1 moves again, only after player 2 played D, in which case player 1 chooses between actions H and I. The payoffs for each path of play are given in the following table:

(a) (5 points) Draw the extensive form of this game.

(b) (5 points) How many pure strategies does each player have? List all the pure strate- gies of each player.

(c) (5 points) Solve this game using backward induction.  Find all the subgame-perfect Nash equilibria  (SPNE)  of this game. Show  your  derivation  by  highlighting  the SPNE paths on the tree you drew in part (a), and write down the strategy profiles you identify as SPNE.

(d) (5 points) Does this game have a Nash equilibrium that gives payoffs (6,7) and that is not a subgame-perfect Nash equilibrium (SPNE) of the game?  If not, argue why not. If yes, specify the strategy profiles in such an equilibrium and explain why it is not a SPNE.

(e) (5 points) Does this game have a Nash equilibrium that gives payoffs (2,5) and that is not a subgame-perfect Nash equilibrium (SPNE) of the game?  If not, argue why not. If yes, specify the strategy profiles in such an equilibrium and explain why it is not a SPNE.

Question 2

Consider the following simultaneous-move games:

(a) (5 points) Find all Nash equilibria in pure strategies in each game. [Only use the game in Figure 1 for parts  (b) and (c)!]

Suppose the game in Figure 1 is now played sequentially. First, player 2 chooses an action. Then, after observing player 2’s move, player 1 chooses an action.

(b) (5 points) Draw the extensive form. of the sequential game.  How many pure strategies does each player have?

(c) (5 points) Find all the subgame-perfect Nash equilibria  (SPNE) of the sequential game.  Show your derivation by highlighting the SPNE paths on the tree you drew in part (b), and write down the strategy profiles you identify as SPNE.

Now suppose the players play a multistage game using the same discount factor δ ∈ [0, 1].  In the first stage, they play the simultaneous-move game in Figure 1.  In the second stage, after observing each other’s first-stage action, they play the simultaneous-move game in Figure 2.

(d)  (2 points) How many pure strategies does each player have in the two-stage game?

(e) (3 points) Is there a subgame-perfect equilibrium in which the strategy profile (B, C) is played in the first stage? Explain your reasoning.

(f) (5 points) For which values of δ can the strategy profile (T, L) be played in the first stage of a subgame-perfect equilibrium?

Question 3

Two players play the following stage game twice in a row (for T = 2 periods), and observe each other’s first-stage action before choosing actions in the second stage.  Player 1 discounts second-stage payoffs using a discount factor δ1  ∈ [0, 1], while Player 2 discounts second-stage payoffs using a discount factor δ2  ∈ [0, 1].

(a)  (2 points) How many pure strategies does each player have in the two-stage game? (b) (3 points) Find all the (static) pure-strategy Nash equilibria of the stage game.

(c) (5 points) What is the smallest pair of discount factors (δ1 ,δ2 ) for which the strategy profile  (B, b)  can  be  played in the first stage of a pure-strategy subgame-perfect equilibrium?

(d) (5 points) What is the smallest pair of discount factors (δ1 ,δ2 ) for which the strategy profile  (C, c)  can  be  played  in  the first stage of a pure-strategy subgame-perfect equilibrium?

Question 4

Amy and Elena are sisters who just received $15 from their parents.  Their parents decided it is up to the two sisters to decide how to split the $15.  As Amy is the older sister, she proposed to play the ultimatum game.  First, Amy proposes a number x, where x can take one of (only) six values:  0,  3, 5, 8, 10 or 12.   Then, Elena hears the proposal and decides whether to accept it (A) or to reject it (R). If Elena accepts the proposal, then Elena receives x dollars, and Amy is left with 15 − x dollars (e.g., if Elena accepts x = 8, then Elena gets $8, and Amy gets $7). If Elena rejects the proposal, then both sisters get $0.

(a) (5 points) Draw the extensive form of this dynamic game.

(b)  (2 points) How many pure strategies does each sister have?

(c) (5 points) Find  all  pure-strategy  subgame-perfect  Nash equilibria  (SPNE) of the game.  Show your derivation by highlighting the SPNE paths on the tree you drew in part (a), and write down the strategy profiles you identify as SPNE.

(d) (3 points) Does this game have a Nash equilibrium in which Amy gets only $3?  If not, explain why not. If yes, specify the strategy profiles in such an equilibrium.

Question 5

Apple (1) and Samsung (2) play a Cournot duopoly stage game repeatedly T times, observing past actions at every stage and discounting payoffs with a discount factor δ  ∈  [0, 1)  per period. In the stage game, each firm i = {1, 2} simultaneously (and independently) chooses a quantity of smartphones qi   ≥  0 to produce.  Apple selects quantity q1 , while Samsung selects quantity q2 .  Both firms have the same production cost of 14qi.  The market inverse demand is given by p = 110 − q1  − q2 .

(a) (2 points) Write down the normal form of the stage game.

(b) (5 points) Find the (static) Nash equilibrium of the stage game.  What is the profit of each firm at the static Nash-equilibrium production levels?

Now suppose the two firms form a monopoly and equally split the monopoly profits.

(c) (5 points) Compute the symmetric Pareto-optimal (monopoly) production levels of the stage game. What are the Pareto-optimal profit levels of each firm?

(d)  (3 points) Suppose the game is repeated T = 4 times.  For which values of δ does this game have a subgame-perfect Nash equilibrium in which both firms play the Pareto-optimal production levels in all 4 stages?

(e) (5 points) Suppose the stage game is repeated infinitely many times (T = ∞). What is the lowest value of δ for which the infinitely repeated game has a subgame-perfect Nash equilibrium in which the Pareto-optimal production levels are played in every stage?