代写MATH0085 Asset Pricing in Continuous Time MSc Examination 2023调试R语言

Asset Pricing in Continuous Time

MATH0085

MSc Examination

2023

Problem 1. Consider  a  filtered  probability space  (Ω , F, P) equipped with a standard (P, {Ft }t≥0)-Brownian motion {Wt }t≥0  starting at zero, where {Ft }t≥0 is the natural filtration generated by {Wt }t≥0 .  We denote by E the expectation under the measure P.

(a)  Is the process

{9Wt/9}t≥0

a standard Brownian motion with respect to its natural filtration?  Justify your answer.                                                                                                 [5]

(b) Assuming that the process

is integrable, argue whether it is a martingale with respect to {Ft }t≥0  and justify your answer.          [5]

(c)  Suppose that T > 0 is constant.  Choose a partition Π with points 0 = t0  < t1 < t2 < . . . < tn = T, and mesh (longest subinterval) denoted by ||Π|| . Find the first variation of W, given by the limit in probability

Hint:  Use the fact that the  quadratic variation  (limit in probability) is

Justify your answer.                                                                                      [5]

(d)  Derive the stochastic differential equation satisfied by

{Wt3 }t≥0 .

Using this, calculate E[Wt3], for all t ≥ 0.                                                    [5]

(e)  Calculate the quadratic variation of the process

{Wt3 }t≥0

and explain whether this is independent of the Brownian motion’s path.  [5]

Problem 2. Consider a financial market defined on a filtered probability space (Ω , F, {Ft }t≥0, P) with a risky financial asset with price process {St }t≥0  satisfying

dSt  = µStdt + etStdWt ,    S0  > 0,                                 (1)

where µ ∈ R, {Wt }t≥0  is a (P, {Ft }t≥0)-Brownian motion, and {Bt }t≥0  is a money market account satisfying

dBt  = rBtdt,    B0  = 1,

where r > 0.  Then, consider a European-type option with payoff 1{ST>K}  at the expiration time T > 0, with K > 0 and 1{·}  denoting the indicator function.

(a) Derive the solution {St }t≥0  to the stochastic differential equation (1).      [4]

(b)  Derive the risk-neutral stochastic differential equation of the price process {St }t≥0 . Explain in detail all steps.                     [6]

(c) Derive the explicit formula for the risk-neutral price V (t, St ) of the option at any time t ∈ [0, T]. Explain in detail all steps.       [10]

(d)  Construct a hedging portfolio for the option and derive the explicit expres- sions of the hedging positions at any time t ∈ [0, T].  Explain in detail all steps.                                 [5]

Problem 3. Consider  a filtered probability  space (Ω , F, {Ft }t≥0, P) equipped with a standard (P, {Ft }t≥0)-Brownian motion {Wt }t≥0  and the stochastic integral process {Bt }t≥0  given by

where

Throughout this question, you may use without proof that all stochastic integrals against W are martingales.

(a) Is the process {Bt }t≥0   a standard  (P, {Ft }t≥0)-Brownian motion?   Justify your answer.                             [5]

(b) What is the stochastic differential equation satisfied by the process {BtWt }t≥0? As a consequence, calculate its expected value. Justify your answers.       [5]

(c) What is the stochastic differential equation satisfied by the process {BtWt2 }t≥0? As a consequence, calculate its expected value. Justify your answers.       [9]

(d) Are the processes {Bt }t≥0  and {Wt }t≥0

(i) correlated?

(ii) independent?

Justify your answers.                                                                                      [6]

Problem 4. Consider a financial market defined on a risk-neutral filtered prob- ability space (Ω , F, {Ft }t≥0, Q) with a risky asset with price process {St }t≥0  satis-fying

dSt  = rtStdt + σStdWt(1) ,    S0  > 0,              (2)

where σ > 0, {Wt(1) }t≥0  is a standard (Q, {Ft }t≥0)-Brownian motion and {rt }t≥0 is the interest rate process.

Consider a long position in a forward contract with expiration time T > 0, when the investor pays the forward price F0,T   and receives the aforementioned asset. Recall that, F0,T  is F0-measurable (i.e. known at time t = 0).

Suppose that the interest rate is constant rt  = r > 0 for all t ∈ [0, T].

(a) Using a replicating portfolio, derive the explicit expression of the no-arbitrage value of the forward price F0,T .   [5]

(b) What is the risk-neutral value of the aforementioned forward contract at any intermediate time t ∈ [0, T]? Justify your answer.     [5]

Suppose for the remainder of this question that the interest rate {rt }t≥0  satisfies drt  = (a − rt )dt + bdWt(2) ,    r0  ∈ R,

where a,b  >  0 and {Wt(2) }t≥0   is a standard  (Q, {Ft }t≥0)-Brownian motion.   A zero-coupon bond which pays 1 at its maturity time T has value B0(*),T  at time 0.

(c)  Derive the explicit expression of the no-arbitrage value of the forward price F0,T  in terms of B0(*),T  and S0 .  Explain in detail all steps.             [7]

Finally, consider a long position in a futures contract with maturity time T > 0. This is an agreement to receive as a cash flow the changes in the futures price

ft,T  = EQ [ST |Ft]       (under no-arbitrage)

of the asset during the times t ∈ [0, T].

(d)  Derive an explicit expression for the forward–futures spread in terms of B0(*),T .

Based on that, give an example of a positive spread and another example of a zero spread.                  [8]