代做MATH0099 Statistical Methods and Data Analytics MSc Examination 2022代写数据结构语言

Statistical Methods and Data Analytics

MATH0099

MSc Examination

2022

Problem 1.

(a)  [7 points]   Let  θ  ∈ R and let X be a random variable with density pθ (x). The corresponding log-likelihood is lx (θ) := log pθ (x).

The first and the second derivative of the log-likelihood are

Compute the expectation of l and l,  and show that the latter is equal to

-Iθ , where

is the Fisher information.

Note:  you may assume that the  operation of changing the order of di  eren- tiation and integration is valid.

(b)  [12 points]   Let X = (X1, . . . , Xn ) and assume that the Xi  are iid copies of the random variable X from (a).  Let lx (θ) denote the log-likelihood based

on the full sample X and θ(ˆ) the corresponding maximum likelihood estimator

(MLE) .

(i) Write down a first-order Taylor series expansion for lx, (θ(ˆ)) at θ and use

it to obtain an approximation for θ(ˆ).

(ii) Using the central limit theorem and the strong law of large numbers, show that in large samples the MLE is approximately normally dis- tributed. Specifically,

Note:  The notation ~ means ‘approximately distributed’.

Note:   You  may  assume  that  the  assumptions  underlying  the  central  limit theorem and the law of large numbers  are met.

(c)  [6 points]   In the setting of (b) with X ~ N(θ, σ2 ) and σ known, compute

the MLE θ(ˆ) and find its approximate distribution.

Problem 2.

(a)  [8 points]  Studies have shown that 1/3 of twin births are identical twins and 2/3 are fraternal twins.  A mathematician finds out that she will have twin girls and would like to know the probability that the girls are identical twins.

Using the information above write down a suitable prior distribution and a suitable family of (discrete) probability densities to answer the mathemati- cian’s question. What is the probability that the twins are identical?

Note:  you may assume that the  chance  of fraternal twins having the same sex is 1/2 .

(b)  [10 points]  Let the random variable X represent the number of claims made in a single year by an insurance policy holder.  Assume that X ~ Poisson(θ), that is

and that g(θ) is a prior for θ .

Find a formula forθ(ˆ), the Bayes estimator for θ, only involving x and f , where

f is the marginal density of X .

(c)  [7 points]  In the setting of (b),let X1 , . . . , Xn  be iid copies of X, so that now there are n policy holders.  Explain how you would estimate the marginal density f and hence write down an empirical version of the formula for θ(ˆ), which you obtained in (b).

Problem 3. Let X = (X1, . . . , Xn ) and assume that the Xi   are iid copies of a random variable X  ~ Bernoulli(p).  Define T  := Σ Xi , the total number of successes in the sample.

(a) [8 points]  Show that T is a sufficient and complete statistic.

(b) [12 points]  Let q := 1 - p. Find δ, the UMVU estimator for pq.

(c) [5 points]  Given the variance of the estimator δ you found in (b),

show that the estimator is consistent.

Problem 4.

(a)  [6 points]  For each statement below decide whether it is true or false.  Justify your answer.

(i) The p-value of a test is the probability of a type I error.

(ii) The type II error of a testis one minus the probability of falsely rejecting the null hypothesis.

(iii) The p-value of a test has a Uniform distribution on (0, 1).

(b)  [8 points]  Let X be a random variable with probability mass function pθ = pθ (x).  The null hypothesis is θ  = θ0 , the alternative is θ = θ 1 .  Under the null hypothesis and the alternative, pθ is specified as follows:

x      1      2      3      4      5      6      7

pθ0         .01    .01    .01    .01    .01    .01    .94

pθ1         .06    .05    .04    .03    .02    .01    .79

(i)  Use the Neyman-Pearson Lemma to find the most powerful test ϕ of

the null hypothesis against the alternative such that Eθ0 (ϕ) = .04.

(ii)  Compute the probability of a Type II error for the above test.

(c)  [11 points]   Let X = (X1, . . . , Xn ) and assume that the Xi  are iid copies of a random variable X ~ N(θ, σ2 ), with σ 2  known.  The null hypothesis and the alternative are

H0  : θ ≤ 0,    and    H1  : θ > 0.

Consider the family of tests given by

where X denotes the sample mean of X and c ∈ R parameterises the family.

Compute β(θ) := Eθ [ϕ], the power function of the family of tests and con- struct a test with significance level Q.