代写MATH0085 Asset Pricing in Continuous Time MSc Examination 2022代做回归

Asset Pricing in Continuous Time

MATH0085

MSc Examination

2022

Problem 1. Consider a probability space  (Ω , F, P) equipped with a standard (P, {Ft }t≥0)-Brownian motion {Wt }t≥0  starting at zero, where {Ft }t≥0  is the nat- ural filtration generated by {Wt }t≥0 .  We denote by E the expectation under the measure P.

(a)  Is the process

{W1-t - W1 }t∈[0;1]

a standard Brownian motion with respect to its natural filtration?  Justify your answer.                                                             [5]

(b)  Is the process

{(4Wt2 - 2t)}t≥0

(d)  Is the process

{  Wudu }t≥0

a Markov process with respect to (Ft )t≥0? Justify your answer.                [5]

(e)  Calculate the expected value of the process

{ W2udu }t≥0

Justify your answer.                                                                                [5]

Problem 2. Consider a Black-Scholes-Merton market defined on a filtered proba- bility space (Ω , F, {Ft }t≥0, P) with a risky financialasset with price process {St }t≥0 satisfying

dSt  = μStdt + σStdWt ,    S0  > 0,

where μ ∈ R, σ > 0, {Wt }t≥0  is a (P, {Ft }t≥0)-Brownian motion and {Bt }t≥0  is a money market account satisfying

dBt  = rBtdt,    B0  = 1.

Then consider a European-type financial option with payof at expiration time T > 0 given by

ST(2)1{ST>K} .

We denote the indicator function by 1{·} .

(a)  Derive the stochastic diferential equation satisfied by the square price pro-cess {St(2)}t≥0 .                         [3]

(b) What is the probability of exercising the option at expiration?  Give your answer in terms of the model parameters and the standard normal cumulative distribution function Φ .                                            [5]

(c) Derive the risk-neutral stochastic diferential equation of the square price process {St(2)}t≥0  and then solve it.  Explain in detail all steps.                  [10]

(d) Derive the explicit formula for the risk-neutral price V (0, S0 ) of the option at time t = 0.  Explain in detail all steps.        [7]

Problem 3. Consider a financial market defined on a risk-neutral filtered proba- bility space (Ω , F, {Ft }t≥0, Q) with a risky financialasset with price process {St }t≥0 satisfying

dSt  = rtStdt + σStdWt ,    S0  > 0,                                 (1)

and an interest rate process {rt }t≥0  satisfying

drt  = (a - rt )dt + bdBt ,    r0  ∈ R,                                (2)

where a,b, σ > 0 and {Wt }t≥0 , {Bt }t≥0  are two independent standard (Q, {Ft }t≥0)- Brownian motions. Then, consider a financial option with payof at expiration time T > 0 given by the integral

Stdt.

(a)  Solve the stochastic diferential equation (2) to obtain a closed-form expres- sion for the interest rate rt , for all t ≥ 0.          [5]

(b) Derive a Markovian formulation for the arbitrage-free option pricing problem at any time t ∈ [0, T].  Write down explicitly the price of the option at the expiration time T. Explain in detail all steps.        [5]

(c) Derive the partial diferential equation and boundary conditions satisfied by the price of the option. Explain in detail all steps.      [12]

(d)  Comment on whether “delta-hedging” is appropriate for an investor to hedge the risk from selling this option.          [3]

Problem 4. Consider  a filtered probability  space  (Ω , F, {Ft }t≥0, P) and the stochastic integral process {Gt }t≥0  given by

Gt  :=  Ks dWs ,

where {Wt }t≥0  is a (P, {Ft }t≥0)-Brownian motion and the process {Kt }t≥0  is de- fined by

(1          0 ≤ t < 1

Kt  :=  ,    1 ≤ t < 2

:3,         t ≥ 2,

for an F1-measurable random variable ϕ(ω) with mean 2 and variance 1.

(a)  Find the expectation and variance of G5 .                                       [5]

(b)  Suppose in this part that ϕ(ω) is given by a function h of the Brownian motion’s value at time t  =  1,  namely  ϕ  =  h(W1 ).    Are  the  increments G5 - G2 , G2 - G1  and G1  - G0  independent?                             [5]

Consider also the stochastic processes

Xt  := X0 + μsds + σsdBs ,

where the processes {μt }t≥0, {σt }t≥0  are {Ft }t≥0-measurable and {Bt }t≥0  is a stan- dard Brownian motion satisfying [W, B]t  = pt, for all t ≥ 0, where p ∈ [-1, 1].

(c)  Calculate the dynamics of the process {Yt }t≥0  given by

Yt  = exp{Gt } + Xt(3) - θt,

where θ > 0.                                                                          [5]

(d) Express the process {Zt }t≥0  given by Zt  = GtXt , for all t ≥ 0, in the forms:

(i) dZt  = at dt + btdBt + ctdWt ,

for a (P, {Ft }t≥0)-Brownian motion {Wt }t≥0 independent of {Bt }t≥0 and

find the explicit expressions for at , bt  and ct.                                        [5]

(ii) dZt  = ft dt + gtdMt ,

for a (P, {Ft }t≥0)-Brownian motion {Mt }t≥0  and find the explicit ex- pressions for ft  and gt.      [5]