代写MATH21112 Rings and Fields Example Sheet 7 More on Ideals代做Java语言

MATH21112 Rings and Fields

Example Sheet 7

More on Ideals

1.  Show that if R is any ring then R is a division ring if the only right ideals of R are {0} and R.  (A similar statement is true for left ideals).

2.  Let R = Z and let I = <3>. What is I2 ? What is In?  Let J = <12>. What is IJ?

3.  Let I, J be ideals of a ring R. Show that IJ ≤ I ∩ J. Give an example to show that this inclusion may be proper.

4.  Let R be a commutative ring and set N(R) = {r ∈ R | ∃n ∈ N, rn  = 0} to be the set of all nilpotent elements of R.  Prove that N(R) is an ideal of R.  Compute N(R) for:

(i) R = Z12 ;

(ii) R = Z24 ;

5.  Suppose that I , J are ideals of the commutative ring R such that I + J = R. Prove that IJ = I ∩ J.

6.  (Hard)  Let p be a prime integer and set Z(p)  = {n/m ∈ Q | p | n}.  Prove

that Z(p)  is a subring of Q.  Show that the only proper non-trivial ideals of Z(p)are those generated by powers of p.