代写Number Theory (MA3Z7) Problem Sheet I代写数据结构语言

Number Theory (MA3Z7)

Problem Sheet I

1.  Prove that there are infinitely many primes of the form 4n — 1.

[Hint:  for primes p1 , . . . , pk  of this form, consider 4p1  . . . pk  — 1.]

2. Show that, for 2n + 1 to be prime, n must be a power of 2.

[Hint:  if n is not a power of 2, then n = 2rk with k > 1 odd.  Now use the identity xk + 1 = (x + 1)(xk—1  — xk—2  + · · · + 1).]

[Primes of the form 22n  + 1 are called Fermat Primes.]

3.  Let a,n be  positive integers with a, n ≥ 2.  Show that, for  an  — 1 to be prime, we need a = 2 and n prime.

[Use the identity xn — 1 = (x — 1)(xn—1 + · · · + 1).]

[Primes  of the  form.  2p  — 1  (with  p  prime)  are  called  Mersenne Primes.]

4.  Prove that  (a, b) = (a, c) = 1 implies (a, bc) = 1 (for a,b, c ∈ N).

5.  Use the Euclidean Algorithm to compute (826,1890).