代写MA3AM/MA4AM ASYMPTOTIC METHODS PROBLEM SHEET 1代做留学生Matlab编程

MA3AM/MA4AM ASYMPTOTIC METHODS

PROBLEM SHEET  1

1. Find the first three terms in the expansion u(x;ϵ)  =  u0 (x) + ϵu1 (x) + ϵ2u2 (x) + ... for the solution of

 

where u(0) = 1, and 0 < ϵ ≪ 1.  Determine the exact solution, and compare.

2. Show that the Van der Pol equation

has the approximate solution u ≈ u0 + ϵu1 , where u0  = c0 cos(t + α0 ) and

 

for constants c0 , c1 ,α0 , and α 1 .  [Hint:  sin A cos2 A = 4/1(sin A + sin(3A)).]

3. Determine the first three terms in the expansion u = u0  + ϵu1  + ϵ2u2 + ... for the solution of the quadratic equation

u = 1 + ϵu2 ,

where 0  < ϵ ≪ 1.  Determine the exact solution, and expand both roots in terms of powers of ϵ . What do you notice?

4. Find the first two terms in the expansion u(t;ϵ) = u0 (t)+ϵu1 (t)+ ... for the solution of

 

where u(0)  =  1,  u′ (0)  =  0,  and  0  <  ϵ  ≪ 1.   [Hint:   cos3 t  = 4/1(cos 3t + 3 cos t).]

5. Determine the order (O) of the following expressions as ϵ → 0: