代做Lineare Algebra II Ubungsblatt 6

Lineare Algebra II

Ubungsblatt 6

SS 2024

Aufgabe 1. Sei R ein Integrit¨atsring und a, b, c ∈ R\{0}. Angenommen es existieren kleinste gemeinsame Vielfache kgV(a, b) und kgV(kgV(a, b), c). Zeigen Sie, dass

kgV(kgV(a, b), c) = kgV(a, b, c).

Aufgabe 2. Bestimmen Sie f¨ur die Matrix

a) Frobenius-Normalform,

b) Weierstraß-Normalform.

Aufgabe 3. Sei K ein K¨orper und λ ∈ K. Von Aufgabe 2, Blatt 5 wissen wir bereits, dass die Matrix

ahnlich zur Begleitmatrix B(X−λ)n ist, denn ihre charakteristischen Matrizen haben diesselben Invariantenteiler. Bestimmen Sie f¨ur n = 2 und n = 3 eine invertierbare Matrix S, sodass SJλ,nS −1 = B(X−λ)n .

Aufgabe 4. Beweisen Sie den Satz aus der Vorlesung ¨uber die verallgemeinerte Jordan-Normalform.