代做Math 3527 ~ Number Theory 1, Spring 2024 ~ Homework 8代做Statistics统计

Math 3527 ~ Number Theory 1, Spring 2024 ~ Homework 8, due Tue Mar 26th.

Part I:  No justi  cations are required for these problems.  Answers will be graded on correctness.

1.  Let R = F3 [x] and p = x2  + x.

(a)  List the 9 residue classes in R/pR.  (You may omit the bars in the residue class notation.)

(b)  Construct the addition and multiplication tables for R/pR.

(c) Identify all of the units and zero divisors in R/pR.

(d)  Find the order of each unit in R/pR.  Are there any primitive roots?

(e) Verify Euler's theorem for each unit in R/pR.

2.  Let R = F2 [x] and p = x3  + x + 1.

(a)  List the 8 residue classes in R/pR.  (You may omit the bars in the residue class notation.)

(b)  Construct the addition and multiplication tables for R/pR.

(c)  Show that R/pR is a   eld by explicitly identifying the inverse of every nonzero element.  [Hint:  Use the multiplication table from (b).]

(d)  Find the order of each unit in R/pR.  Are there any primitive roots?

(e) Verify Fermat's little theorem for the elements x and x + 1 in R/pR.

3.  Let R = Z[i] and p = 2 + 2i.  You are given that there are 8 residue classes modulo p, represented by 0, 1, 2, -1, 1 - i, i, 1 + i, and -i.

(a)  Construct the addition and multiplication tables for R/pR.  (Please leave the elements in the order given above: when you work out the tables you will see they are given in that order for a reason!)

(b) Identify all of the units and zero divisors in R/pR.

(c)  Find the order of each unit in R/pR.  Are there any primitive roots?

4.  Find the following multiplicative inverses:

(a)  The multiplicative inverse of x + 3 inside Q[x] modulo x2 + 1.

(b)  The multiplicative inverse of 1 - 2i inside Z[i] modulo 8 + 7i.

(c)  The multiplicative inverse of x2 + 1 inside F3 [x] modulo x4 + 2x + 1.

(d)  The multiplicative inverse of 4 + 8i inside Z[i] modulo 11 - 14i.

5.   (a)  Solve the simultaneous congruences p 三 1 (mod x + 2) and p 三 7 (mod x - 1) in Q[x].

(b)  Solve the simultaneous congruences z 三 1 (mod 2 + 2i) and z 三 -i (mod 4 + 5i) in Z[i].

Part II:  Solve the following problems. Justify all answers with rigorous, clear explanations.

6.  Show the following things:

(a)  Show that the element 4 + 5i is irreducible and prime in Z[i].

(b)  Show that the element x2  + 4x + 5 is irreducible and prime in R[x].

(c)  Show that the element x2  + 4x + 5 is neither irreducible nor prime in C[x] by   nding a factorization.

(d)  Show that the element 3 + 5i is neither irreducible nor prime in Z[i] by   nding a factorization.

(e)  Show that the element 2 + √-10 is irreducible but not prime in Z[√-10].  [Hint:  Show it divides 14 and that there are no elements of norm 2 or 7.]

7. We can use successive squaring and the same order-calculation procedure we used in Z/mZ to establish the order of an arbitrary unit residue class s in R/rR: explicitly, s has order n if and only if sn  = 1 and sn/p  ≠  1 for any integer prime p dividing n.

(a)  Show that the element 2 + i has order 8 in Z[i] modulo r = 3 + 5i.

(b)  Show that the element x has order 6 in F7 [x] modulo r = x2  + x + 5.

(c)  Show that R = F5 [x] modulo r = x2 + 2 is a   eld with 25 elements, and deduce that the order of any nonzero residue class in R/rR divides 24.

(d)  Find the orders of 2, x, and x + 1 in F5 [x] modulo x2  + 2.  Are any of them primitive roots?  [Hint:  By

(c), the order of each element divides 24, so search among divisors of 24.]

(e)  Show that R = F5 [x] modulo p = x2  is not a   eld, and in fact that there are 20 units in R/rR.

(f)  Find the orders of 2, x + 1 and x + 2 in F5 [x] modulo x2 .  Are any of them primitive roots?  [Hint: The orders divide 20.]