代做Mathematics调试数据库编程

1.

Let  {an}be  a  sequence in an arbitrary metric space that both does not converge and has a subsequence converging to  a.

a.Show  that  for  every ∈>0  there  are  infinitely  many  an  in  Ma.

b.Show  that  there  exists  eo  such  that  for  everye  with  c0 > ∈>0  there  are  infinitely  many  an  not  in Ma.

Remark: here”infinitely  many"refers  to  infinitely  many  distinct  indices  n.We  are  not  worried  about how many different points occur in the sequence but we are concerned about how many times the sequence does  something.

2.

Let M,d be a metric space and define

(a)Show  that p  defines  a  metric  on  M.

(b)Show  that  the  identity  map  is  a  homeomorphism  from  M,d  to  M,p.

(c)If(M,d)is   IR   with    the    standard   Euclidean    metric,i.e   d(r,y)=|x-y|prove    that   M,p    is   bounded. For extra credit,show that M,p is not isometric to an open  subset of R(See below  for definitions).

These definitions are in Pugh and Rudin and were given in class,but maybe a bit hard to find,so:

If   M,dM    and   N,dn    are    metric   spaces,a   mapf:M→N    is    an isometry if  it  is  a  bijection  and dn(f(x),f(y))=dm(z,y)for   all   z,y   in   M.If  there   is   an   isometry   from   M   to   N,we   call   M   and   N isometric.

3.

Construct  also  compact  subset  of R  with  a  denumerable(i.e.infinite  and  countable)collection  of  cluster points.Also  construct  a  compact  subset  of IR  with  a  denumerable  set  of limit  points  but  only  a  finite collection of cluster points.

4.

Prove  that   every  infinite  sequence  {xn} in  R  has   a  monotone   infinite   subsequence.Here  monotone   can either  be  increasing  by  which  we  mean  xn≤xn+1  or  decreasing  by  which  we  mean  xn≥xn+1.Notice these words are intending in a slightly odd sense so increasing really means not decreasing and decreasing really  means  not  increasing.