代写MTH6158: Ring Theory Main Examination period 2022 – May/June – Semester B帮做Python语言程序

Main Examination period 2022 – May/June – Semester B

MTH6158: Ring Theory

Question 1  [28 marks].

(a) Is the function f : Z → Z defined as f(x) = 3x a ring homomorphism?  Justify your answer.

(b)  Consider the map ϕ : Z → Z/10Z defined as ϕ(m) = [5m]10 .

(i) Prove that ϕ is a ring homomorphism.

(ii) Describe explicitly the image Im(ϕ) and the kernel Ker(ϕ) of ϕ.  How many elements do Im(ϕ) and Ker(ϕ) have?

(iii) Use the First Isomorphism Theorem to express your answer for Im(ϕ) in part (ii) as isomorphic to a factor ring of Z. Write down explicitly the isomorphism between these two rings.

(c) How many ring homomorphisms are there from the ring Z to the ring Z/10Z? Justify your answer.

Question 2  [24 marks].     Let R be the Boolean ring R = P({a,b,c}), with addition being symmetric difference and multiplication being intersection. Consider the ideals I = P({a}) and J = P({b,c}) of R.

(b) Write down explicitly the partition of R into these cosets.  

(c) Explain why I + J = R. 

(d) Use the third isomorphism theorem to show that the factor ring R/J is isomorphic to the subring I. 

(e)  Use the second isomorphism theorem to conclude that if K is an ideal of R containing J then K = J or K = R.  

Question 3  [26 marks].

(a)  Explain why S is an integral domain.    

(b) Is the subset T = {c + 2d√−3 : c,d ∈ Z} an ideal of S?  Justify your answer. 

(c)  Determine all the units of S. Justify your answer.    

(d)  Provide an example showing that S is not a unique factorisation domain. You do not need to prove anything.    

(e)  Is the element 7 + √−3 ∈ S irreducible?  Justify your answer.   

Question 4  [22 marks].

(a)  Can the ring R be an integral domain? Explain.   

(b)  Explain why no element of R can be a unit. 

(c)  Prove that for any a,b ∈ R we must have a · b = − (b · a). 

(d)  Give an example of such a ring R in which there exist a,b ∈ R with a · b  0.