代做Lineare Algebra II Ubungsblatt 12帮做R程序

Lineare Algebra II

Ubungsblatt 12

SS 2024

Aufgabe 1. Seien m, n ∈ N>0 und A ∈ C m×n . Zeigen Sie:

a) Die Matrizen A, A T A und AA T haben denselben Rang.

b) Ist λ ∈ C\{0} ein Eigenwert von A T A, so ist λ auch ein Eigenwert von AA T , und umgekehrt.

Aufgabe 2. Bestimmen Sie f¨ur die selbstadjungierte Matrix

eine orthogonale Matrix Q sodass QAQ−1 diagonal ist.

Aufgabe 3. a) Sei n ∈ N>0 und B ∈ R n×n eine symmetrische Matrix. Zeigen Sie, dass B positiv definit ist genau dann wenn alle Eigenwerte von B positiv sind.

b) ¨Uberpr¨ufen Sie die selbstadjungierte Matrix

auf Positivit¨at.

Aufgabe 4. Diese Aufgabe liefert einen alternativen Beweis des Spektralsatzes f¨ur normale Endo-morphismen ¨uber C, basierend auf der Jordan-Normalform. Vermeiden Sie deshalb die Verwendung des Spektralsatzes in den folgenden Teilaufgaben.

Sei (V,⟨·, ·⟩) ein endlich-dimensionaler unit¨arer Vektorraum und f ∈ EndC(V ). Zeigen Sie:

a) f ist selbst-adjungiert und nilpotent (d.h. ∃N ∈ N : f N = 0) genau dann wenn f = 0.

[Hinweis: ker(f) ∩ Bild(f) = {0}.]

b) f ist normal und nilpotent genau dann wenn f = 0.

[Hinweis: Wenden Sie a) auf f ◦ f* an.]

c) In Aufgabe 4, Blatt 9 haben wir f¨ur λ ∈ C den verallgemeinerten Eigenraum

Vλ(f) = {v ∈ V | ∃k ∈ N : (f − λid)k (v) = 0}

definiert.

Im Folgenden sei f normal. Zeigen Sie, dass Vλ(f) f* -invariant ist.

d) Zeigen Sie, dass die Einschr¨ankung von f −λid auf Vλ(f) die Nullabbildung ist. Insbesondere sind f¨ur alle λ ∈ C der verallgemeinerte Eigenraum und der gew¨ohnliche Eigenraum identisch:

Vλ(f) = Eig(f, λ).

e) Folgern Sie, dass f diagonalisierbar ist, ja sogar unit¨ar diagonalisierbar.

[Hinweis: Sie d¨urfen verwenden, dass Eigenr¨aume zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal zueinander sind.]