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Exam One June 2024. Optimal Portfolio Allocation

An investment universe of the following risky assets with a dependence structure (correlation) applies to all questions below as relevant:

Question 1. Global Minimum Variance portfolio is obtained subject to the budget constraint:

•  Derive the analytical solution for optimal allocations w* . Provide full derivation workings.

•  Compute optimal allocations (Global MV portfolio) for the given investment universe.

Question 2. Consider the optimization for a target return m. There is no risk-free asset.

•  Compute correlation levels by stressing the matrix × 1, ×1.3, ×1.8, subject to the upper limit 0.99 for each cross-asset correlation. Diagonal elements stay equal to one.

•  Compute w*  and portfolio risk σΠ  = √w′Σw for m = 7% for three levels of correlation given.

Hints: it is possible to compute this kind of optimal allocation via analytical formula.  Negative and non- robust allocations (into ± 100s%) are possible, particularly for high correlation. Please do not reconfirm your numerical results via support.

Question 3. “Evaluating the P&L more frequently make it appear more risky than it actually is.” Make the following computations to demonstrate this statement.

• Write down the formula for Sharpe Ratio and note that σ is scaled with time.

•  Compute Daily, Monthly, and Quarterly Sharpe Ratio, for Annualised SR of 0 .53.  Hint: this is an abstract computation, not related to Questions 1 and 2.

•  Convert each Sharpe Ratio into Loss Probability (daily, monthly, quarterly, annual), using

Pr(P&L < 0) = Pr(x < −SR).

where x is a standard Normal random variable.

Exam One June 2024. Understanding Value-at-Risk

Assume you are an analyst concerned with how risky NASDAQ-100 became over S&P 500. Perform. the backtesting of Analytical VaR (99%/10day) on the data provided in .csv files.

Question 4. The quick guide is given below, but please refer to the tutorial and CQF material.

VaR10D,t  = Factor × σt  × √10

•  Compute the rolling standard deviation σt  from 21 daily returns.  Timescale of σt  remains ‘daily’ regardless of how many returns are in the sample.

•  To make a projection over 10 days, we use the additivity of variance σ10D  = √σt(2) × 10.

• A breach occurs when the forward realised 10-day return is below the VaRt  quantity.

r10D,t+10   < VaR10D,t given both numbers are negative.

VaR is fixed at time t and compared to the return from t to t+10, computed ln(St+10/St ). Alternatively, you can compare to ln(St+11/St+1) but state this assumption in your report upfront.

Prepare and present the following deliverables in your report: (a)  The count and percentage of VaR breaches.

(b)  Provide a plot which identifies the breaches with crosses or other marks.

(c)  Provide a list of breaches with columns [Date, ClosingPrice, LogReturn, VaR 10D, Ret 10D]. Hint: you need to have True/False breach indicator column in Python, and filter with ‘== True’ .

(d) In your own words describe, was NASDAQ-100 more risky than S&P 500 during COVID pandemic news 2020-Feb to 2020-Mar? What about the subsequent market correction period in 2021-2022?

Question 5. Implement the backtest of VaR10D,t  but now with the input of EWMA σt(2)+1  from the

filtering formula below, instead of rolling std dev. Tutor will not reconfirm the formula/computation.

σt(2)+1 | t  = λσt(2)| t−1 + (1 − λ) rt(2)

with λ = 0.72 value set to minimise out of sample forecasting error.

Hint: use the variance for the entire dataset to initialise the computation.

(a-c)  Provide the same deliverables (a), (b) and (c) as in the previous Question.

(d)  Briefly discuss the impact of λ on smoothness of EWMA-predicted volatility (3-4 lines).

Hint:  you can discuss  λ theoretically without recomputing EWMA-based backtest but,  if you recompute for an extra illustration it is sufficient to do so for one market index only.