代做TAKE HOME EXAM代做Prolog

TAKE HOME EXAM

PART A (30 MARKS)

Are the following statements TRUE or FALSE. Justfy your answer.  (3 marks per statement. 1 mark for true/false, 2 marks for justification).

1.  The events T1 , T2 , T3  are independent if and only if all of the following hold

P(T1 ∩ T2 ) = P(T1 )P(T2 ),    P(T1  ∩ T3 ) = P(T1 )P(T3 ),    P(T2  ∩ T3 ) = P(T2 )P(T3 ).

2.  Given a random sample X1 , X2 ,..., Xn  from a distribution with finite mean µ and strictly positive but finite variance σ 2 ,

3.  Given X1  ∼ Normal(µ,σ2 ) and X2  ∼ Normal(µ,σ2 ) we have

4. When doing a hypothesis test we use the normal distribution instead of the t distribution because the normal distribution often gives better control of the type I error probability in small samples.

5. The Wald test can be applied to more situations than the likelihood ratio test.

6.  The OLS estimator is an example of a method of moments estimator.

7.  Given a random variable X with moment generating function mX (t),

8. If Y |X = x ∼ Normal(2x,x) and X ∼ Uniform(0, then V[Y] = 6/5.

9. If ∂E[θ(ˆ)]/∂θ = 1 then θ(ˆ) is unbiased.

10.  The 1 − α confidence interval is unique.

PART B (70 MARKS)

1.  Consider

where δ > 0, 0 < γ < 1 and 0 < δγ < 1.

(a) Verify that this is a proper density function. (3 marks).

(b) Find  the  distribution  function  FY (y).    Explain  carefully  how  it  depends  on  γ .

Evaluate it at y = δ = γ = 0.5. (5 marks).

(c) Find the moment generating function mY (t). Evaluate it at t = δ = γ = 0.5. (4 marks).

(d) Find the expectation, median and mode of Y when δ = γ = 0.5. (5 marks).

2.  Consider

(a)  Show that we need c = 2(1 − β) and 0 ≤ β ≤ 2 for this to be a proper density function. Use these conditions for the rest of this question. (4 marks).

(b)  Given a random sample X1 , X2 ,..., Xn , derive the method of moments estimator of β . (3 marks).

(c)  Is the method of moments estimator of β consistent?  Justify your answer. (3 marks).

(d)  Given n = 50 and data verifying x = 7/12, perform a z-test of the null hypothesis that the random sample is drawn from a standard uniform. distribution. The alternative should be the complement of the null. You should use α = 0.05. (10 marks).

(e) For n = 2, and given data x1  = 0.1, x2  = 0.4, find the maximum likelihood estimate of β . (5 marks).

3.  Consider a random sample from Y ∼ Binomial(2, p) and the hypothesis test

H0  : p = 1/4,    H1  : p ≠ 1/4

with α = 0.0625. You must use this value of α in all parts below.

(a)  Calculate the probability function pY (y|H0 ). (3 marks).

(b)  Derive the method of moments estimator of p. (3 marks).

(c) Derive the maximum likelihood estimator of p. (5 marks).

(d)  For a random sample of size n = 100, find the test statistic and rejection region for the z-test. Would you reject H0  if the data satisfy y = 1? (7 marks).

(e)  For a random sample of size n = 1, find a test statistic and a rejection region for the likelihood ratio test. Would you reject H0  if the data is y = 1? (10 marks).