代写CAS EC501 Microeconomics Problem set 6代做留学生SQL语言

CAS EC501 Microeconomics

Problem set 6

Due 4/26/24 10.10 AM

1.   (a)  Suppose a manager and a worker interact as follows. The manager decides whether to hire or not hire the worker. If the manager does not hire the worker, then the game ends.  When hired, the worker chooses to exert either high effort or low effort.   On observing the workerís effort, the manager chooses to retain or fire the worker.  In this game, does  "not hire" describe a strategy for the manager? Explain.

(b) Find the pure strategy Nashequilibria in the following games:

2.  Consider the following Cournot quantity-setting game. Suppose there are n > 2 firms and that all firms i =  1, .., n simultaneously and independently choose output yi ∈ [0; 1): Aggregate production is:

Let p(y) = a - y be the inverse market demand function, where a > 0: Assume no fixed costs and that the firms have the same marginal cost c < a:

(a) Describe the normal-form of this game.

(b) Find the symmetric Nash equilibrium.

(c) What happens to the equilibrium price as n approaches infinity? Explain.

3. Let there be two firms that compete by setting quantities sequentially.   Output  is homogenous and the inverse market demand isp (y) = 12 - y: Assume that both firms have zero cost, and that their objective is to maximize profits.

(a) Draw the extensive form of this game.

(b) Verify that the following strategy constitutes a Nash equilibrium:

(c) Explain why the Nash equilibrium above is not a subgame perfect Nash equilib- rium.

4.  Consider the following simultaneous-move game of asymmetric information played by two firms. First, nature selects a number x 2 f4; 8g with equal probability. Firm one observes x; but firm two does not.  Firm two believes that x is either 4 or 8 with equal probability.  Once firm one has observed x; the two firms compete by simultaneously setting quantities y1  and y2 ; respectively.  Assume that costs are zero.  The payoffs to firmi = 1; 2 with i ≠ j are:

πi (x; yi ; yj ) = (x - yi - yj ) yi :

That is, x is a measure of how strong demand for the good is.

(a) Find the firms'best reply functions.

(b) What is the Bayesian Nash equilibrium (BNE)?

(c) Verify that having information about x gives firm one an advantage over firm two.

5.  Consider the following variant of Hotellingís product di§erentiation model.  Suppose that the consumers are uniformly distributed on a circle with perimeter d = 1: Firms are also located on the circle,  each  selling  a  homogenous product.   Each  firm  has marginal cost c and also faces a fixedentry cost F: Firm iís proÖt is:

where yi  is the demand it faces.  Consumers want to buy one unit of the good and have a transport cost of t: Hence, the price facing a consumer who purchases from firm i is pi  + tx; where pi  is the price charged by firm i and where x is the distance between the consumer and firm i: There are two stages:  in the first, all firms simultaneously choose whether or not to enter.  Let n denote the number of entrants.  The firms do not choose the location on the circle, but are automatically located equidistant from each other. In the second stage, the n entrants compete in prices.

(a) Derive the profit function of firm i:

(b) Find the (symmetric) equilibrium price in the market.

(c) How many firms n*  will there be in this market?

6.  Suppose n > 2 symmetric firms compete by setting prices in a market where demand is given by y(p): The marginal cost of each firmisc; and there are no fixed costs.  Assume further that there are no capacity constraints, so a single firm could potentially satisfy the whole market demand.

(a)  Consider a one-shot game where all firms simultaneously set prices in order to maximize profits.  Find the Nash equilibrium firm output and profit.  (Assume a symmetric equilibrium).

(b)  Suppose instead that the one-shot game is repeated T < 1 times. The firms all discount future payo§s by a common factor δ < 1: Find the subgame perfect Nash equilibrium profitin this case. Is it di§erent than the case above? Why/why not?

(c) Now let there be uncertainty about the number of interactions T: Find the neces- sary condition that allows for a non-stage game Nash equilibrium strategy to be sustained as a subgame perfect equilibrium. Use a grim trigger strategy where a deviation from the proposed strategy entails a reversion to the stage game Nash equilibrium indeÖnitely.

(d) Finally assume that a deviation from equilibrium play is not immediately detected, but lags for three periods. How does this change the results from those in (c)