代写Math 5A Midterm Review Summer Session 1 - 2024帮做Python语言程序

Math 5A

Midterm Review

Summer Session 1 - 2024

1.  Complete the following statements regarding definitions and theorems.

(a) A function f(x) is said to be continuous at a number a if...

(b) The line y = −2 is a horizontal asymptote for a function f(x) if...

(c) The line x = 5 is a vertical asymptote for a function g(x) if any one of four limit statements are true. List the four statements.

(d)  Suppose that  f(x)  ≤  g(x)  ≤  h(x)  for  all  x  near  a  number  a.   If  the  number L =  f(x) =  h(x), then  g(x) = L. What is the name of this theorem?

(e)  Suppose f is a continuous function on [−2, 7], f(−2) = 5, and f(7) = −1.  State the Intermediate Value Theorem in the context of this situation.

2.  Determine whether each of the following statements is true or false.

(a) Let f and g be functions.  If the composition f(g(x)) is continuous at a number a then both f and g are continuous at the number a.

(b) If f and g are functions such that both are continuous at a number a, then the composition f(g(x)) is continuous at the number a.

(c)  Suppose f is continuous on (a,b], f(a) = −1, and f(b) = 1.  Then f has a root in (a,b).

(d) If  = 7, then 2 is in the domain of f.

(e)  If h is a continuous function on [−1, 1], h(−1) = 27, and h(1) = 20 then there is a number c with −1 < c < 1 such that h(c) = 25.

(f)  Suppose that f(x) ≥ 0 andiscontinuous for all x. Then h(x) = √f(x) is continuous for all x.

3. Find all horizontal and vertical asymptotes for the function f defined below (must show details and justify answers using definitions).

4.  Find the value of the constants a and b which make the function f(x) continuous on ( −∞ , ∞ ). (Must show details using the definition of continuity.)

5.  Compute the following limits, if they exist. If not, write ”DNE”, ” ∞ ”,or -∞ ” whichever is most appropriate.

 

 

6. Let  Answer the following questions.

(a) What is the domain of f ◦ g  (in interval notation)?

(b) What is the domain of g ◦ f  (in interval notation)?

7.  Suppose that a species has linear selection function based on a trait level t given by

w(t) = −0.5t + 1.25     where t > 0.5.

(You may find it helpful to change decimals to fractions for this problem.)

(a) What is the relevant domain of this linear selection function (in interval notation)?

(b) True or false: a higher level of trait t is better for this species?

(c)  Suppose the relative fitness is 0.1.  What is the trait value t which gives this fitness level?

(d)  Suppose another species has a linear selection function based on this trait which is perpendicular to the line and passes through the point (0.25, 0.25).  Find the linear selection function of this other species as well as its relevant domain in interval notation. (Here assume that t > 0.)

8. Find the domain, horizontal asymptotes, and vertical asymptotes for the following func- tions. Write ”none” where appropriate.  (No work needs to be shown.)

9.  Show that the function f(x) = √x5  + x − 3 has at least one real root.  Cite any relevant theorems.

10. The polynomial p(x) has the following properties.

● p(x) is of degree 8

● x = −1 is a zero of odd multiplicity larger than 1

● x = 2 is a zero of even multiplicity larger than 1

● The polynomial p also has zeroes at x = 1,  4,  −2

● p(0) = − 2/1

(a)  True or false:  the graph of p flattens as it approaches and passes through its zero at x = −1.  (No explanation required.)

(b) Find the polynomial p. Hint: p has the form.

p(x) = k(x + 1)n1 (x − 2)n2 (x − 1)n3 (x − 4)n4 (x + 2)n5

where k, n1 , n2 , . . . , n5  are constants. First, use what is given about the zeros of p to find the multiplicities n1 , . . . n5 . Next, use what is given about f(0) to find k.  A hint such as this WILL NOT be given on an exam.

(c)  Find  (No work needs to be shown.)

11. Let f(x) = x/1.

(a) Find a formula for f′ (x) using the limit definition of the derivative.

(b) Find an equation of the tangent line to the curve y = f(x) at x = 4.

12. Let f(x) = √x3  − 1.

(a) Find a formula for f′ (x) using the limit definition of the derivative.

(b) Find an equation of the tangent line to the curve y = f(x) at x = 2.