代做6CCM327A Topology Summer 2018调试R语言

6CCM327A Topology

Summer 2018

SECTION A

A 1. Let X , Y and Z be topological spaces.

(a)  Define what it means for a map f : X → Y to be continuous.    [4 marks]

(b)  For each of the following statements determine whether it is true or false. Prove or construct a counter-example.

i. The map f is continuous, if and only if for every open set U ⊆ X its image f (U) is open in Y.

ii. The map f is continuous, if and only if for every closed set C ⊆ Y its inverse image f-1 (C) is closed in X .

iii. The map f is continuous, if and only if for every closed set C ⊆ X its image f (C) is closed in X .  [12 marks]

A 2. Let {Xi}i∈I  be a family of topological spaces and the Cartesian product of {Xi}.

(a)  Define the product and the box topologies on X .  (There is no need to

verify that it satisfies the topology axioms.)                                [5 marks]

(b)  For each of the following statements determine whether it is true or false. Prove or construct a counter-example.

i. If I is finite then the product and the box topologies coincide.

ii. The projections πi  : X → Xi  are all continuous, where X is assumed to be equipped with either the product topology or the box topology.

iii. Let be a countable product (where R is equipped

with the standard topology).  Then the box topology on X is strictly finer than the product topology on X . [11 marks]

A 3. Let X be a topological space.

(a)  Define what it means for X to be connected, what it means for X to be path-connected, and what it means for X to be compact.   [3 marks]

(b)  For each of the following statements determine whether it is true or

false. Prove or construct a counter-example.

i.  Every compact subspace of R is connected.

ii. If X is connected and Y ⊆ X is closed then Y is connected.

iii. If X is compact and Y ⊆ X is closed then Y is compact.

iv.  Every compact subspace Y ⊆ X of a compact space X is closed in X .    [9 marks]

(c)    i.  Define the decomposition of X into the connected and the

path-connected components.  (If you define it as the set of

equivalence classes then there is no need to validate the axioms of equivalence relation.)

ii.  Prove that the connected components {Ci}i∈I  are disjoint subsets of X, such that every connected subspace intersects at most one of them.  [6 marks]

SECTION B

B 4. (a) Prove the Intermediate Value Theorem: if f : X → R is a continuous

map defined on a connected topological space X, then if for some

a, b ∈ X we have f(a) < f (b), then for every f(a) < r < f (b) there exists a point c ∈ X such that f (c) = r. [5 marks]

(b) Let A ≤ R2  be a subset of R2  defined by

i. Is A connected? Explain.

ii. Is A compact? Explain.

iii. Is A Hausdorf? Explain.     [10 marks]

(c) Let A be as in part (b).

i. Show that the closure A of A is given by

A = A ∪ (R × {0}),

i.e. adding the real line to A (thinking of R ⊆ R2  via the imbedding

x }→ (x, 0)). A brief argument is sufficient.

ii. Is A compact? Explain.

iii. Decompose A into connected and path-connected components. Explain.   [10 marks]

B 5. (a)    i.  Prove the Tube Lemma: If X , Y are topological spaces, Y is

compact, x0  ∈ X, then for every open set N ⊆ X × Y containing {x0 } × Y there exists an open neighbourhood W ⊆ X of x0  such that N ⊇ W × Y.

ii.  Does there exist an open set A ⊆ [—1, 1] × R that contains {0} × R but does not contain any set of the form [—∈, ∈] × R for ∈ > 0?

Explain why your answer does not contradict the Tube Lemma.   [7 marks]

(b)  Let S = {1, 2, . . . , 2018} ⊆ R be equipped with the subspace topology induced by the standard topology on R. For each of the following

statements determine whether it is true or false. Prove or construct a counter-example.

i. There exists a non-discrete topology T on R2  so that (R2 , T) is not connected.

ii. There exist no continuous non-constant map f : R2  → S.

iii. There exist no continuous non-constant map f : [0, 1]2  → S.    [10 marks]

(c)  Let Q ⊆ R be the set of rational numbers endowed with the subspace

topology induced from the standard topology on R and let X = Q ∩ [0, 1].

i.  Is X connected?

ii. Is X compact?

iii.  Construct a continuous function f : X → R that does not attain

maximum nor minimum, and explain why it does not contradict the Extreme Value Theorem.   [8 marks]