代写MIME 473 Midterm Project Winter 2025代写Python语言

MIME 473

Midterm Project

Question 1 (60 points)

[ET.1-30%, DE.3-70%] Based on the example Python file provided in mycourses, i.e., SimpleMD.py, design and develop a new Python code for one dimensional molecular dynamics simulations that incooporate the following two components:

•  Periodic boundary conditions.  Please constrain the simulation to be between the two periodic boundaries situated at xB(0)  and xB(1) . Please see “ Q1_Parameters.pdf” for the values of xB(0)  and xB(1)  specifically assigned to you.

• Tail function to ensure a smooth cut-off of the ptential function.

Let’s start by considering a Lennard-Jones (LJ) potential

where ∈ (in the unit of eV), σ (in the unit of Å) are LJ potential parameters while r(in the unit of Å) is the interatomic distance.  Please see “ Q1_Parameters.pdf” for the values of ∈ and σ specifically assigned to you.

With the above information, please perform the following tasks:

(a)  Based on the LJ potential function and the ∈and σ value assigned to you, please        (12)

design a Morse potential which has a function form in Eq.  1b below:

where D (in the unit of eV), Q (in the unit of Å-1) and r0  (in the unit of Å) are positive constants while r(in the unit of Å) is the interatomic distance.  This Morse potential is related to the LJ potential in the follows

(i) φLJ (r)and φMS (r)have the same minimum, i.e., min(φLJ ) = min(φMS ).

(ii) The r values at which φLJ (r) and φMS (r) achieve their minimum values are the same.

(iii) The r values at which φLJ (r) and φMS (r) equal zero are the same.

Please determine the values of D , Q and r0 .

(b) With the Morse potential parameters determined, please use the Morse potential       (48)

to describe the interatomic interactions in your simulations.  In using the potential, please implement the switch-off method to cut off the potential, i.e., the original φMS (r) is replaced by the new potential function below:

with

where rc  (in the unit of Å) is the cut-off distance (Please see “ Q1_Parameters.pdf”

for the values of rc   specifically assigned to you).   Now please develop your code based on the template SimpleMD.py, to implement the periodic boundary condi- tions (i.e., xB(0)  and xB(1)  as previously mentioned), and use Morse potential with cutoff, i.e., φN(MS)(r) to describe the interatomic interactions.  The simulation box contains three atoms, respectively located at x1 , x2  and x3  and at temperature T (Please see “ Q1_Parameters.pdf” for the values of x1 , x2 , x3  and T specifically assigned to you). Note that we assume the atoms to be Argon (mass already specificed in the template code SimpleMD.py).  Please run the simulation for at least 20000 steps and plot the trajectories (the plotting part is already in the template code, see lines 196-203 in SimpleMD.py).

Python hints:

(1) Force calculations: you will need to modify the lj_force function in the template code SimpleMD.py.  Note that you need to get the expression for force on base of the Morse potential.  Also you need to account for the tail function in your force calculation (Assignment #4 solutions can be a good resource).

(2) Minimum distance calculation: you will need to modify the function get_accelerations in the template code SimpleMD.py, accounting for the periodicity.

(3) Position update:  each time you update an atom position, you also need to be mindful of the periodicity.

(4) it is very IMPORTANT to ensure that you use the correct set of parameters ASSIGNED TO YOU. Otherwise your grade WILL BE VOID!

Report hints: Please see the MidtermProject__ReportTemplate.docx to see the points you need to describe and elaborate on in your report.

Question 2 (40 points)

[DE.3] Consider a 1-dimensional single-atom oscillator with mass M:

• Its position at time t is described by x(t);

• The potential energy at time t is given by

• The instantaneous force at time t on the oscillator is f(t) = -kx(t), where k is the spring constant.

Assume an initial condition of x(t = 0) = 0 and v(t = 0) = v0 .  Then we can easily obtain the exact solutions for x(t) and v(t) as

Therefore the total energy of this single-atom oscillator system is (denoting the kinetic energy as KE(t))

Now  let’s  design  numerical  simulations  based  on  the  above  information  (Please  see “ Q2_Parameters.pdf” for the values of v0 , M and k specifically assigned to you (v0 , M and k are in units of m/s, kg and kg/s2  respectively).  Again it is very IMPOR- TANT to ensure that you use the correct set of parameters ASSIGNED TO YOU. Otherwise your grade WILL BE VOID!).

Write a Python program to implement the numerical simulations you designed (name it Q2a__Euler__YOURMCGILLID.py) to numerically integrate the equations of mo- tions using the Euler-type algorithm, as the follows:

Please conduct four numerical simulations using four different timesteps,  i.e.,  △t  = 0.01, 0.05, 0.1, 0.15 (in unit of s), each for a total duration of 100s. For each numerical simulation, please monitor the time evolution of the trajectory (x(t)), potential energy (U(t)) and total energy (E(t)). With the results obtained, please do the following:

(a) In your Python file, please output the simulated x(t)), U (t)) and E(t) data into data files (Please submit four DATA Files, named as Q2a_YOURMCGILLID_i.txt (i = 1, 2, 3, 4 in correspondence to the four △t cases).   For data file formatting, please see the sample data file Q2_SampleDataFile.txt).

(b)  Compare the x(t)), U (t)) and E(t) data with the exact solutions (see Eqs. 2a-2c).

Examine the difference between simulation results and prediction, and how the dif- ference vary over time for different △t cases, with necessary discussion/explanation (please make necessary plots, generated either directly in Python or by Excel using the data files).

Python hints:

(1) Again, for this question, you can use the template code SimpleMD.py as a guide. Note that in this question you don’t need to worry about periodicity or potential/force cutoff .

(2) You will need to print out data files, for which you may consult the template code Crystalline_template.py in mycourses.

(3) For plotting, you can either modify the plotting part (lines 196-203) in SimpleMD.py, or do the plotting in Excel. Make sure you label the axes.